Kis kő, nagy kő 2

Sokkal tovább tartott, mint amit megérdemel, de itt a folytatás.
Aki nem olvasta volna az előzményt, annak érdemes lehet azzal kezdenie.

Kicsit sajnálom, hogy ide a blogra csak kevés megjegyzés érkezett, mert ha többen írtak volna tippet, talán kirajzolódott volna valami tendencia - ráadásul "tesztlogika" segítségével akár rá is lehetett volna jönni, hogy amire a legtöbben tippelnek, az pont a blogbejegyzés mondandója szerint valószínűleg a rossz válasz :).

Mivel ez a blog nem elsősorban találós kérdésekről, hanem sokkal inkább gondolatmenetekről kíván szólni, most sem egyszerűen a megoldást szeretném ismertetni. Sokkal érdekesebb, hogy (szerintem) miért és hogyan jut rossz megoldásra a megkérdezettek túlnyomó része.

Szinte mindenki megtanulja fizikából, hogy a gravitáció hatására a tárgyak egyszerre esnek, kicsit precízebben a gravitáció hatására a testek légüres térben egyenlő gyorsulással esnek a föld felé. Ez a szabály jó példa arra, hogy milyen általános, mögöttes szabályokat lehet a fizikában (ill. a természettudományban általában) felfedezni, amelyek nem nyilvánvalóak egyszerű megfigyelésre illetve nem is mérhetőek közvetlenül. Az efféle szabályok illetve törvények ismerete pont ezért tanulságos: példát mutat arra, hogy vannak egyszerű szabályok amelyeknek a fizikai világ engedelmeskedni látszik és a segítségükkel (illetve a kombinációjuk segítségével) számos bonyolultabb jelenség jól leírható.

(Remélhetőleg) az átlag középiskolás gravitációs eséssel kapcsolatos feladatokat jól meg tud oldani és mintegy kognitív sémaként beépül a feladatmegoldó gondolkodásába a mantra, hogy "a gravitációs erő hatására a testek egyforma gyorsulással, g-vel esnek". Szándékosan kihagytam a mondatból, hogy "légüres térben", és szándékosan említettem a "feladatmegoldó gondolkodást". Nem véletlen, hogy a légellenállás nem kerül szóba a középfokú fizikaoktatás példáiban, ugyanis kiszámíthatatlanná, megoldhatatlanná teszi a feladatokat. A középiskolai fizika másik fontos tanulsága és tanítanivalója ugyanis az, hogy a fizikai példák megoldhatóak és kvantitatív eredményük van. Csak nagyon kevés olyan példa van, ami kvalitatív eredményt vár, és azokat is inkább fizikaversenyzőknek adják fel :)

Ez a példa, mivel számszerűen (pláne fejben) lehetetlen lenne (a feltételezhető tudással) megoldani, természetesen kvalitatív.
Ez az első kitolás benne.
A második kitolás az, hogy ez alkalommal kifejezetten arról van szó, hogy ne hanyagoljuk el a légellenállást, és ezért a legtöbb delikvens számára teljesen ismeretlen terepet jelent. Éppen ezért természetesen a légellenállás ideillő esetének képletét szívesen megosztom bárkivel aki megpróbálja megoldani, konkrétan 1/2*c*rho*A_i*v², ahol c az "alaktényező" ami pl. autók esetében manapság 0.3 körül mozog, rho a levegő sűrűsége, A a "homlokfelület", a tárgynak a mozgás irányába vett keresztmetszeti felülete, v pedig az aktuális (esetünkben zuhanási) sebesség. Ebből a képletből a példa feltételei mellett adott sebességre a két test között csak a homlokfelület, vagyis az A változik.
A harmadik kitolás nem más, mint az, hogy megkérdezem, hogy miért ér le előbb amelyik előbb ér le.

Azok után, ahogy az előző szekcióban megfogalmaztam, talán nem meglepő, ha azt mondom, hogy a megkérdezettek többségének esélye sem nagyon volt rá, hogy következtetéssel meg tudja oldani a feladatot. Számottevő elmélyülési lehetőség nélkül, fejben, számukra lényegében ismeretlen, említésnél mélyebben sosem tanult fizikai jelenséggel kapcsolatban adjanak kvalitatív választ. Ugyanakkor a miért kérdés automatikusan arra készteti a legtöbb embert, hogy a tanult módon próbáljon meg a fizikai problémához hozzáállni. Így a legtöbben az első, helyesnek látszó gondolatmenettel próbálják alátámasztani a válaszukat, örülve, hogy legalább valamilyen fizikai levezetést tudnak produkálni a kérdésre.

Az alapgondolat amiből a legtöbben ki tudnak indulni éppen az, hogy "légüres térben a tárgyak (méretüktől és tömegüktől függetlenül) egyenlő gyorsulással esnek". Ez eddig tökéletes. Ezt kellene összehozni a légellenállással. A légellenállás képletében a tárgyak méretétől függően csak az A változik (adott sebességre). A nagyobb testnek nagyobb a homlokfelülete. Ebből az következtethető, szintén helyesen, hogy a nagyobb testre nagyobb légellenállás hat, tehát nagyobb erő fékezi a zuhanását. Ezek szerint, ha a két test légellenállás nélkül egyformán esne és a nagyobb testet jobban fékezi a légellenállás, nyilván a kisebb ér le előbb, nem?

Nem. Ez az a banánhéj, amin szinte mindenki elcsúszik. Ugyanis, bár a levezetés minden részlete önmagában helyes és a végkövetkeztetés kellően frappáns, sajnos nagyon súlyos fizikai elvi hiba van benne. Ennek a végiggondolására azonban a legtöbben nincsenek felkészülve, ugyanis messze meghaladja az átlagban elérhető fizikai tudást, pláne a fejben történő levezetések körében. Elvben ugyan a legtöbben megtanulják a megfelelő megközelítést, azonban a "légüres térben a tárgyak egyszerre esnek" sokkal dominánsabb és megfoghatóbb gondolat, mint amennyit a túlnyomó többség a mögöttes fizikai levezetésekből megjegyez (és alkalmazni tud) a mindennapokban, ha nem előre begyakorolt fizikai feladattípussal találkozik.

A súlyos elvi hiba a levezetésben az, hogy összekeveri a gyorsulás és az erő fogalmait. Ugyanis a testeknek légüres térben a gyorsulásuk egyenlő, nem a rájuk ható erő. A testek gyorsulása általános esetben pont az alap newtoni törvényből következően
a = F/m, ahol F a testre ható összes erő összege ("eredő erő").
Légüres térben jó közelítéssel csak a gravitációs erő hat a testekre, és a gravitációs erő pont egyenesen arányos a test tömegével, vagyis az erőt leosztva a test tömegével, állandó gyorsulást kapunk, ez a g, a gravitációs gyorsulás ismert mennyisége.

Ugyanakkor, amikor más erő is hat a testre, a gyorsulás kiszámításához vissza kell nyúlni a képlethez, amivel az eredő erőből és tömegből ki lehet számítani azt. Ilyenkor jelentőségét veszti, sőt inkább zavaró tényezővé válhat az előző eredmény, hogy a gyorsulás egyenlő volt ha tisztán csak a gravitációs erő hatott. Aki eljut eddig a felismerésig, az valószínűleg nem próbál meg (és nem is tud) gyorsan válaszolni a kérdésre, hacsak nincs a fejében olyan másik séma ami ebben az esetben pont kapóra jön és segít neki (gyorsan) válaszolni. Erre még visszatérek, és ennek az ismerete volt az, ami számomra (és a legtöbb, jó megoldást adó számára) egyszerűvé tette a probléma megoldását, bár el kell ismernem, hogy a megoldás ebben az esetben sem sokkal alaposabb, mint a fentebb vázolt helytelen következtetés, viszont legalább helyes :)

Tehát ott tartottunk, hogy az eredő erőt kell elosztanunk a tömeggel. Az eredő erő ebben az esetben a gravitációs erő és a légellenállás összege, és minden pillanatban változik a sebességtől függően (hiszen a légellenállás a sebesség négyzetétől függ). Éppen ezért a teljes folyamatról nehezen tudunk beszélni, érdemben csak azonos sebességekre tudjuk összevetni a két test gyorsulását. Amennyiben azt találjuk, hogy a két test közül valamelyiknek minden sebességre nagyobb a pillanatnyi gyorsulása, úgy (kicsit szőnyeg alá söpörve pár száz évnyi matematikát) kijelentjük, hogy az a test fog hamarabb leérni. Tehát ha valaki egzakt levezetést vár az csalódni fog, de nem ez a célunk :).
Tehát a_i = (m_i*g - 1/2*rho*c*A_i*v²)/m_i. Ez így bonyolultnak néz ki, de ha összevonjuk az állandónak vehető mennyiségeket (azonos sebességre) és elvégezzük a leosztást a tömeggel akkor a következőt kapjuk:
a_i = g - k*A_i/m_i.
Ez azt jelenti, hogy mindkét test gyorsulása kisebb lesz g-nél, és amelyik esetben kevesebbet vonunk ki g-ből, az lesz a nagyobb gyorsulású, vagyis a gyorsabban eső test. Annál a testnél vonunk ki kevesebbet, ahol az A_i/m_i arány kisebb. Itt jön kapóra a második feltételünk, hogy a két test azonos anyagú, vagyis azonos a sűrűségük. Így tehát A_i/m_i~A_i/V_i, ahol V_i a megfelelő test térfogata.

Most jutottunk el addig a pontig, ahol a másik séma segít. Sokaknak meg van ugyanis a fejében az a gondolat (kognitív séma), hogy ha veszel egy testet és felnagyítod, akkor a térfogata gyorsabban nő, mint a felülete (egy kicsivel matematikusabban: a felület az átmérő négyzetével, a térfogat az átmérő köbével arányosan nő, és a köb gyorsabban nő, mint a négyzet). Ezzel szokták többek között magyarázni, hogy a sarkköri állatok miért nagyobbak, mint a mérsékelt övi rokonaik: a hőtermelő képesség a térfogattól, a hőveszteség a felülettől függ. Akinek ez a gondolat eleve ismerős, annak könnyebben rááll az agya, hogy ezt keresse a feladat megoldásában. Így pedig meg is lehet válaszolni: a nagyobb testnél kisebb az A/V arány, tehát kisebb értékkel csökkenti a légellenállás a gravitációs gyorsulást. Ebből pedig az következik, hogy a nagyobb test ér le előbb.

Innen folytatjuk :)